Путенихин П.В., Динамические диаграммы Минковского на примере обмена световыми сигналами
| [ Скачать с сервера (1.73 Mb) ] | 08.02.2016, 15:30 |
Путенихин П.В. m55@mail.ru Аннотация Диаграммы Минковского считаются наглядным способом демонстрации сущности специальной относительности и используются для доказательства её истинности. В литературе эти диаграммы имеют статический вид – рисунки. В данной работе средствами интернета показана динамическая, анимированная диаграмма, на которой все процессы происходят как в реальном времени. В докладе «Пространство и время» в 1908 году Герман Минковский предложил способ наглядного изображения физической реальности в виде четырехмерного пространства событий, в котором каждая точка представляет собой некоторое событие, определяемое тремя пространственными и одной временной координатами (Минковский Г. Пространство и время /в кн.: Принцип относительности. – М.: Атомиздат, 1973). Эти точки четырехмерного пространства-времени Минковского являются математическими абстракциями, которые не обладают ни пространственным объемом ни временной длительностью. В дальнейшем эти изображения получили название «диаграммы Минковского» и считаются наглядным способом демонстрации сущности специальной относительности и используются для доказательства её истинности. Воспользуемся такой диаграммой и рассмотрим мысленный эксперимент с обменом световыми сигналами между двумя движущимися ИСО – А и В с относительной скоростью 0,866с. Традиционно далее мы будем использовать систему единиц, в которой скорость света с=1. В этом случае относительная скорость ИСО будет записываться как 0,866. Это значение мы задаём произвольно. Процесс будем рассматривать на диаграмме Минковского с точки зрения средней ИСО – С. Средняя ИСО – это система отсчёта, имеющая среднюю скорость, при которой каждая из двух подвижных систем удаляется от неё в противоположные стороны с одинаковыми скоростями, равными в нашем случае 0,577. Движение началось из общей точки, но мы будем рассматривать его через 120 секунд от начала, когда все участники удалились друг от друга на некоторое расстояние. Этот начальный момент эксперимента изображён на следующей диаграмме. В данной статье разрывы страниц настроены таким образом, чтобы диаграмма (рисунок) и пояснения к ней находились на одной странице:  Рис.1 Диаграмма Минковского для двух движущихся систем отсчета А и В с точки зрения средней, неподвижной системы С в момент времени 120 секунд от начала движения. Этот момент времени изображен на диаграмме оранжевой линией «настоящего времени в неподвижной системе отсчета (покоя)» или кратко «настоящее покоя». Тонкие штриховые линии, исходящие из начала координат и имеющие угол наклона к оси времени, равный 45o, это мировые линии света. Все мировые линии движущихся систем отсчета имеют иметь угол наклона к оси времени только меньше 45o. Также на диаграммы для удобства последующих рассуждений добавлены традиционные вспомогательные линии (калибровочные кривые, «семейство гипербол»). В литературе у них нет общепризнанного названия, поэтому для определенности назовём их изохронами. Такое название вполне допустимо, оно точно отражает смысл этих линий. Изохрона отсекает на всех без исключения мировых линиях ИСО, движущихся из начала координат, отрезки равного времени, прошедшего от начала движения. Понятно, что изохрон на диаграмме Минковского может быть бесчисленное множество - по величине времени, отсекаемого на мировых линиях ИСО, все они в нашем случае описываются уравнениями гипербол t2=x2+ti2. Изохрона 120, изображенная на приведённой диаграмме желтой штриховой линией, показывает, что во всех ИСО, мировые линии которых дошли до неё, прошло ровно ti=120 секунд от начала движения по их собственным часам. Все изохроны на диаграммах Минковского располагаются «вдоль» вертикальной оси ветвями вверх (движение в будущее) или вниз (движение из прошлого). Мы будем рассматривать только верхнюю часть диаграмм, для времени от нуля и выше. К изохронам «ортогонально» располагаются соответствующие гиперболы, которые можно назвать «изотрасами» (или изотрассами) - ветвями вправо (удаление от неподвижной ИСО вправо) или влево (удаление от ИСО влево). Это линии, отсекающие на мировых линиях расстояний отрезки равных дистанций (трасс), то есть, показывающие одинаковое расстояние от начала координат во всех движущихся ИСО. Уравнения изотрас – x2=t2+xi2. На рисунке красными линиями показан «комплект» изохроны 80 и соотвествующей ей изотрасы 80. Изохроны и изотрасы на бесконечности сколь угодно близко приближаются к мировым линиям света, но никогда не коснутся их. С помощью изохрон и изотрас на диаграмме можно наглядно продемонстрировать некоторые кинематические эффекты преобразований Лоренца. Например, точка a обозначает на диаграмме момент времени ИСО А, когда её часы будут показывать время 120 секунд, поскольку эта точка лежит на соответствующей изохроне. Но в «настоящем» системы С часы системы А показывают другое время, ведь они идут с её точки зрения замедленно. Это замедление можно определить по диаграмме (с учетом пропорций, поскольку диаграмма на рисунке слегка вытянута по горизонтали). Замедление равно:  Поскольку скорость системы А равна 0,577, то этот же коэффициент, вычисленный по уравнениям Лоренца, равен:  Соответственно, с точки зрения неподвижной системы С система В удалилась от начала координат за 80 секунд движения на расстояние 80 световых секунд. Но с точки зрения системы В она прошла путь, который также короче за счёт лоренцева сокращения отрезков. Это сокращение по измерениям на рисунке равно той же величине:  Ещё нагляднее на диаграмме демонстрируется знаменитая «относительность одновременности». Два события – b и c – в системе отсчета В находятся на линии одновременности – оси x'. Все события, находящиеся на линии, параллельной оси расстояний – одновременные, они произошли в один и тот же момент времени. Но с точки зрения неподвижной системы С эти два события имеют разное время свершения. Событие b, например, произошло приблизительной в 45 секунды. Событие с – приблизительно в 57 секунд. В данной работе мы будем использовать на всех последующих диаграммах изменяющийся масштаб, то есть, значения возле меток на осях координат будут постоянно возрастать вместе с течением времени. В этом случае линия настоящего и начало координат будут неподвижны. Напротив, если использовать фиксированный масштаб, то в рассматриваемом нами эксперименте квадрат 80х80 пространственно-временных координат в начале движения, преобразуется в конце движения в квадрат 1000х1000, то есть исходную диаграмму к этому моменту необходимо увеличить в 12,5 раз. Динамическое масштабирование даёт один и тот же размер диаграммы в обоих случаях, изменяется только цена делений осей. Другим следствием такого масштабирования будет то, что движущиеся во времени события и неподвижная (лабораторная) ИСО с линией «настоящее покоя» окажутся «замороженными» в своих определенных, начальных точках диаграммы. Наоборот, события, имеющие определённое, фиксированное время свершения, на диаграмме будут двигаться по своим мировым линии к началу координат (то есть, как бы в обратном направлении), оставаясь при этом в фиксированной точке пространства-времени. Такая диаграмма будет напоминать картину удаляющегося ландшафта: так выглядят деревья, дома, люди, если смотреть на них через заднее стекло уезжающего автомобиля. Все пропорции сохраняются, уменьшаются только размеры. На следующем рисунке приведена динамическая диаграмма Минковского для рассмотренного случая:  Рис.2 Динамическая диаграмма Минковского для эксперимента с обменом световыми сигналами между двумя системами отсчета А и В с точки зрения неподвижной системы С. Рассмотрим подробно, насколько удастся, все происходящие на диаграмме события. Как сказано выше, рассматривать картину будем с момента времени 65 секунд, прошедшего от начала движения. (полный текст статьи находится во вложении) 28.03.2014 Адрес статьи в интернете URL: http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/ddm-light.shtml Иллюстрации и уравнения к статье (зеркала) http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/ https://cloud.mail.ru/public/8WpP/qeaUMAiGz https://yadi.sk/d/EZg36rrKmJDwk http://vixra.org/author/putenikhin_p_v https://cloud.mail.ru/public/Hq7e/jZ9YZGJW9 https://drive.google.com/folderview?id=0B0uM56-EnG4ZaUFJb0YzY3YtcVU&usp=drive_web http://fileload.info/users/putenikhin/ | |
| Категория: Разное | | | |
| Просмотров: 3368 | Загрузок: 53 | |
| Всего комментариев: 0 | |