Путенихин П.В., Что такое неравенства Белла?
| [ Скачать с сервера (612.3 Kb) ] | 05.02.2016, 17:27 |
Полный текст статьи находится во вложении. Фрагмент для ознакомления: Путенихин П.В. m55@mail.ru Аннотация Неравенства Белла используются в качестве основного аргумента в споре между локальным реализмом Эйнштейна и квантовой нелокальностью. Если тщательно проанализировать доводы, то можно признать: Эйнштейн прав – квантовая механика неполна, а "современная физика, превратилась, по сути дела, в продолжение математики, совершенно утратив все надежды на понимание природы изучаемых явлений". Оглавление Какие они, неравенства? Вероятностная интерпретация квантовой механики Парадокс ЭПР Статья Белла Как выглядят неравенства Белла в оригинале? Сущность нелокальности и локального реализма Как "работают" неравенства Белла Немного о зависимых и независимых событиях Анализ квантово-механических аргументов Квантовая механика против СТО Литература Как выглядят неравенства Белла в оригинале? Как уже было отмечено выше, "неравенства Белла" в литературе приводятся в разных видах. В таком случае возникает резонный вопрос, а как же они выглядели у автора этих неравенств, у самого Белла? В статье Белла, как можно заметить, нет ни одного выражения, хотя бы близко похожего на приведённые выше неравенства. Кратко рассмотрим его выкладки [5, 39, 32, 31]. (начало цитаты) "В примере, приведенном Бомом и Аароновым, ЭПР-аргумент состоит в следующем. Рассмотрим пару частиц с полуцелым спином, сформированных в синглетном состоянии и движущихся свободно в противоположных направлениях. Измерения могут быть сделаны, например, с помощью магнитов Шрена-Герлаха на выбранных компонентах спина σ1 и σ2. Если измерение компоненты σ1·a, где a - некоторый единичный вектор, дает значение +1, тогда, согласно квантовой механике, измерение σ2·a должно дать значение -1 и наоборот. Теперь мы выдвигаем гипотезу [2], и это является, по крайней мере заслуживающим рассмотрения, что, если эти два измерения сделаны в отдаленных друг от друга местах, то ориентация одного магнита не влияет на результат, полученный на другом магните. Так как мы можем заранее предсказать результат измерения любой выбранной компоненты σ1, предварительно измерив ту же самую компоненту σ2, из этого следует, что результат любого такого измерения должен быть фактически предопределен. Так как исходная квантово-механическая волновая функция не определяет результата индивидуального измерения, эта предопределённость подразумевает возможность большого набора состояний. Давайте этот большой набор состояний определим посредством параметров λ. Совершенно безразлично, обозначает λ единственную переменную или их набор, или даже набор функций, и являются переменные дискретными или непрерывными. Однако мы примем, что λ - это единственный непрерывный параметр. Тогда результат А измерения σ1·a зависит от a и λ, а результат B измерения σ2·b в том же самом случае зависит от b и λ, и А(a, λ) = ±1, B(b,λ) = ±1, (1) Главное в предположении [2] - это то, что результат B для частицы 2 не зависит от установки a магнита для частицы 1, как и A от b. Если ρ(λ) - распределение вероятности λ, тогда ожидаемые значения совместного наблюдения этих двух компонент σ1·a и σ2·b равны P(a, b) = ∫dλp(λ)A(a, λ)B(b, λ) (2) Оно должно равняться квантово-механическому значению ожидания, которое для синглетного состояния равно <σ1·a σ2·b> = -a·b (3) Однако будет показано, что это невозможно". Заключительным выражением у Белла является следующее (опуская промежуточные выкладки, приведём лишь окончательный результат): 4(ε + δ) ≥ |a·c - a·b| + b·c - 1 (22) Для примера примем, что a·c = 0, a·b = b·c = 1/√2. Тогда 4(ε + δ) ≥ √2 - 1 Как видим, для любого малого конечного ε, δ не может быть произвольно малым. Таким образом, значение квантово механического ожидания не может быть представлено ни точно, ни произвольно близко в форме (2). (конец цитаты) Полученное выражение (22), по существу, и следует считать оригиналом неравенств Белла. Из этого неравенства следует вывод, что никакая статистическая теория с дополнительным параметром не может обеспечить с произвольной точностью такой же корреляции, что и квантово-механическое уравнение. На основании проведённого анализа Белл и приходит к своему выводу о невозможности придерживаться статистических предсказаний в поведении частиц в ЭПР-парадоксе. Как видим, оригинал так же отличается от множества других "неравенств Белла", как и большинство этих "неравенств" отличаются друг от друга. В чём же дело? Означает ли это, что произошла подмена? Является ли она принципиальной в главном споре между нелокальностью и локальным реализмом с теориями дополнительных переменных? Видимо, принципиальных противоречий в различных формулировках неравенств Белла нет. Все они едины своим духом и, по сути, одинаково противостоят статистическим трактовкам явления запутанности квантовых частиц. Вкратце суть их можно сформулировать следующим образом. Если рассматривать события измерения двух удалённых друг от друга квантовых частиц, бывших до этого во взаимодействии, то статистические предсказания дают неверный результат. Эти предсказания исходят из того, что частицы ведут себя полностью независимо: результат измерения над одной частицей не оказывает влияния на результат измерения над другой частицей. Однако между этими измерения существуют явно видимые соотношения, которые более связаны друг с другом, чем случайные события. Это явление, как отмечено выше, получило название нелокальности. Проще говоря, мы видим, что результат второго измерения зависит от результата первого измерения, мы отчётливо видим связь, зависимость между двумя измерениями. Но это противоречит специальной теории относительности, к тому же никто и никогда не наблюдал сигнала, с помощью которого частицы "передают" информацию друг другу. Эти противоречия со временем и привели к появлению понятия "нелокальность", которое в свою очередь является антагонизмом понятия "локальность" или в более широком смысле понятия "локальный реализм", который связывают с именем Эйнштейна. Как "работают" неравенства Белла Итак, две разделённые пространственно частицы образуют нелокальную систему: действия над одной из них не изменяют состояния другой, но при этом эти состояния частиц оказываются коррелированными, то есть связанными друг с другом. Следовательно, суть парадокса ЭПР состоит не только в утверждении неполноты квантовой механики, не только в утверждении о неполном описании волновой функцией состояния квантовых объектов, но и в противопоставлении в целом явления нелокальности и локального реализма. Рассмотрим одно из наиболее удачных и компактных описаний "механизма" неравенств Белла в варианте Белла-Клаузера-Хорна-Шимони в изложении Холево. Рассматривая мысленный эксперимент ЭПР, Белл обратил внимание на глубокий и неожиданный вывод [51]: (начало цитаты) "если пытаться описывать корреляции измерений спинов двух частиц классически и в соответствии с принципом локальности, то оказывается невозможным достичь такого характера и уровня коррелированности, который соответствует предсказаниям квантовой механики. Более того, этот уровень коррелированности может быть количественно сформулирован и проверен экспериментально. Дадим точную формулировку... Оказывается, что такая корреляция не может быть смоделирована никакой классической моделью составной системы, удовлетворяющей принципу локальности. Это вытекает из следующего неравенства Белла–Клаузера–Хорна–Шимони. Пусть Xj, Yk, j,k = 1,2 — случайные величины на произвольном вероятностном пространстве Ω, такие что |Xj| ≤ 1, |Yk| ≤ 1. Тогда для любого распределения вероятностей на Ω корреляции этих величин удовлетворяют неравенству |EX1Y1 + EX1Y2 + EX2Y1 - EX2Y2| ≤ 2, (2.7) где E — соответствующее математическое ожидание. Доказательство получается усреднением элементарного неравенства -2 ≤ X1Y1 + X1Y2 + X2Y1 - X2Y2 ≤ 2. Принцип локальности, или, лучше сказать, разделимости в данной модели заключается в том, что физическая наблюдаемая для первой системы описывается одной и той же случайной величиной (X1 в случае первых двух корреляций, X2 в другом случае) независимо от того, какая величина — Y1 или Y2 измеряется во второй системе. Это условие кажется настолько естественным, что оно даже трудно уловимо. Однако именно оно запрещает мгновенное влияние измерения, проводящегося в одной системе, на измерения в другой системе. Если от него отказаться, то интересующие нас четыре физические корреляции могут быть любыми величинами из отрезка [-1,1]". (конец цитаты) Очевидно, что полученное неравенство справедливо. Никакие значения независимых случайных величин не позволят получить значения выражения, превышающего 2. Но, как утверждается, квантовые частицы в запутанном состоянии, тем не менее, нарушают это неравенство. Каким образом – пока неясно. Рассмотрим механизм этого нарушения в работах Алена Аспекта [4]. Для теорий со скрытыми переменными Аспект приводит такую форму функции корреляции: E(a, b) = ∫dλp(λ)A(λ, a)B(λ, b) (12) Отмечая, что есть много различных форм и демонстраций неравенств Белла, он предлагает рассмотреть выражение s = A(λ, a)·B(λ, b) - A(λ, a')·B(λ, b) + A(λ, a)·B(λ, b') + A(λ, a')·B(λ, b') = A(λ, a)[B(λ, b) - B(λ, b')] + A(λ, a')[B(λ, b) - B(λ, b')] (17) Помня, что эти четыре величины А и B принимают только значение ±1, простой осмотр второй строки (17) показывает, что s(λ, a, a', b, b') = ± 2. (18) Среднее значение s по λ поэтому заключено между + 2 и – 2 2 ≤ ∫dλp(λ)·s(λ, a, a', b, b') ≤ 2. (19) Согласно (12), мы можем переписать эти неравенства - 2 ≤ S(λ, a, a', b, b') ≤ 2. (20) где S(λ, a, a', b, b') = Е(a, b) - Е(a, b') + Е(a', b) + Е(a', b') (21) Это и есть, упоминавшиеся нами неоднократно BCHSH - неравенства, то есть неравенства Белла, выведенные Клаузером, Хорном, Шимони и Хольтом. Легко заметить их сходство с формой, приведённой Холево, что в общем-то очевидно. В экспериментах Аспекта они относятся к комбинации S из четырех коэффициентов корреляции поляризации, привязанным к двум направлениям анализа для каждого поляризатора (a и a' для поляризатора I, b и b' для поляризатора II). Аспект отмечает их общность: они применимы к любой теории с дополнительными параметрами в самой общей формы. Далее Аспект приводит ещё одну форму неравенств Белла. Обращаем на это особое внимание: это неравенства, созданные не для теорий с дополнительными параметрами, а для квантовой механики. То есть существуют два класса неравенств Белла: для локальных теорий, приведённые выше, и для квантовой механики, которые мы сейчас получим. Для получения квантово-механических "неравенств Белла" Аспект использует такой же приём. Рассмотрим квантово механическое значение S SQM(λ, a, b, a', b') = cos(a, b) - cos(a, b') + cos(a', b) + cos(a', b') (23) Это - функция трех независимых переменных (a, b), (b, a') и (а', b'). Заметим, что (a, b') = (a, b) + (b, a') + (а', b') Найдём экстремум значения SQM, приравняв нулю три частные производные (a, b) = (b, a') = (а', b') = θ (24) и sin θ = sin 3θ (25) Абсолютные максимумы и минимумы SQM равны SQM = 2√2 для θ = ± π/8 (26) SQM = -2√2 для θ = ± 3π/8 (27) Эти значения являются решением уравнения (25). Итак, мы видим, что для квантовой механики значения модуля в неравенствах Белла несколько выше, чем для локальных теорий. Собственно говоря, в этом и заключается механизм "работы" неравенств Белла, сущность их нарушения. Эти неравенства, составленные для локальных теорий, не могут принимать значений, обеспечиваемых неравенствами, составленными для квантовой механики: SQM = 2√2 (22) Как видим, это квантово-механическое предсказание определенно находится в противоречии с неравенствами Белла (20) которые имеет силу для любой теории с дополнительными параметрами. Другими словами, нарушаются не собственно неравенства Белла как таковые (не существует способа получить значение модуля, превышающее 2), а имеется два класса этих неравенств: локальные и квантово-механические. Они, понятное дело, имеют разные "планки", выше которых не поднимаются значения выражений S. Видимо, разумнее говорить о нарушении неравенств в другом смысле. Значение S для локальных теорий не превышает 2, а для квантовой механики – превышает. Все последующие эксперименты, направленные на проверку неравенств Белла, в сущности, преследовали одну цель: показать, что в реальных экспериментах неравенства Белла имеют верхнюю границу, соответствующую выражению (22). Другими словами, неравенства Белла (для локальных теорий) не нарушаются, а просто не соответствуют реальному положению вещей, а сущность теоремы Белла состоит, в таком случае, в том, что невозможно найти (построить) теорию с дополнительными параметрами, которая была бы способна обеспечить такой же уровень корреляции для всех случаев, что и квантовая теория. Добавим, что на основании своих выкладок Аспект делает два примечательных вывода. Он отмечает две гипотезы, которые с неизбежностью приводят к конфликту с квантовой механикой: • корреляции на расстоянии могут быть поняты на основе введения дополнительных параметров для разделенных частиц, в духе идеи Эйнштейна о том, что различным частицам отвечает разные физические сущности. • величины A(λ, a), B(λ, b) и ρ(λ) отвечают условию локальности, т.е. они не зависят от ориентаций удаленных поляризаторов. Вторая гипотеза Аспекта представляет особый интерес. Конфликт с квантовой механикой (и, соответственно, с результатами множества экспериментов) возникает, если события в удалённых системах не зависят друг от друга. Именно события, поскольку вероятности измерений на удалённых поляризаторах однозначно определяются этими величинами. Это очевидное следствие утверждения (гипотезы) Аспекта: если бы вероятности на измерителях зависели от ориентаций удалённых от них поляризаторов, то конфликта с квантовой механикой не было бы. Другими словами, вероятность измерения одной квантовой частицы зависит от измерения другой, удалённой частицы. Литература (первые 5 ссылок) 1. Aspect A., Dalibard J., Roger G., Experimental Test of Bell’s Inequalities Using Time-Varying Analysers. – Phys. Rev. Lett. 49, 25, (1982), http://kh.bu.edu/qcl/pdf/aspect_a1982707d6d64.pdf 2. Aspect A., Grangier P., Roger G., "Experimental Realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: A New Violation of Bell’s Inequalities", PRL, V.49, N.2, 1982 3. Aspect А. "Bell’s theorem: the naive view of an experimentalist", 2001, (http://quantum3000.narod.ru/papers/edu/aspect_bell.zip): 4. Aspect: Ален Аспект, Теорема Белла: наивный взгляд экспериментатора, (Пер. с англ. Путенихина П.В.), Квантовая Магия, 4, 2135 (2007), http://quantmagic.narod.ru/volumes/VOL422007/p2135.html 5. Bell J.S., On the Einstein Podolsky Rosen paradox, Physics Vol.1, No.3, pp.198-200, 1964 Адрес статьи в интернете URL: http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/ineq.shtml Иллюстрации и уравнения к статье (зеркала) http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/ https://cloud.mail.ru/public/8WpP/qeaUMAiGz https://cloud.mail.ru/public/Hq7e/jZ9YZGJW9 https://yadi.sk/d/EZg36rrKmJDwk https://drive.google.com/folderview?id=0B0uM56-EnG4ZaUFJb0YzY3YtcVU&usp=drive_web http://fileload.info/users/putenikhin/ 09.05.2009 | |
| Категория: Разное | | | |
| Просмотров: 3115 | Загрузок: 45 | |
| Всего комментариев: 0 | |